×
Ing. Milan Petrík, Ph.D.
Milan Petrík
banner

Matematické modelování

Přednášky v letním semestru 2020 se budou konat v místnosti M214/3 od 15.30 do 19.00 ve dnech: 27.2., 5.3., 19.3., 2.4., 16.4. a 30.4.

Vzhledem k usnesení Ministerstva zdravotnictví č. MZDR 10676/2020–1/MIN/KAN, které od 11. 3. 2020 zakazuje přítomnost studentů na výuce, se přednášky až do odvolání konat nebudou. Protože má ale výuka probíhat dál, sepíšu postupně poznámky, které mám k přednáškám připravené a zpřístupním je zde. Prosím vás tímto, abyste se na mě obraceli e-mailem v případě jakýchkoliv dotazů ohledně těchto textů.

Obsah přednášek:

  1. Lineární prostor, lineární závislost, báze, skalární součin, lineární prostor funkcí
  2. Aproximace reálných funkcí, interpolace, metoda nejmenších čtverců
  3. Aproximace periodických reálných funkcí, Fourierovy řady, trigonometrické řady
  4. Obyčejné lineární diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, Problém vlastních čísel
  5. Metoda sítí (metoda konečných diferencí)
  6. Variační metody pro obyčejné okrajové úlohy (Ritzova metoda a Metoda konečných prvků)

Zkouška

Vzhledem k situaci jsem se rozhodl vyřešit zkoušku z tohoto předmětu domácí prací.

Najděte v reálném světě jakoukoliv úlohu, kterou je možné řešit diferenciální rovnicí s okrajovými podmínkami pomocí Ritzovy metody, metody konečných prvků nebo metody konečných diferencí (viz např. tabulka pozitivně definitních úloh v přednášce o variačních metodách nebo tabulka na str. 53 ve skriptech od K. Rektoryse) a ukažte její řešení.

Práce má tedy obsahovat popis problému, zdůvodněnou diferenciální rovnici s okrajovými podmínkami a řešení pomocí některé ze zmíněných metod.

Řešení můžete provést ručně nebo pomocí softwaru.

V případě softwarového řešení ale chci u variačních metod vidět, jaká byla zvolená báze prostoru, ve kterém bylo řešení hledáno a jaké jsou výsledné souřadnice řešení. U metody konečných diferencí chci vidět dělení intervalu a všechny aproximované funkční hodnoty.

Pokud to budete řešit ručně, tak při každé metodě nakonec narazíte na nutnost řešit soustavu lineárních rovnic s ošklivou maticí. Doporučuji na tento úkol použít program Octave, který je zadarmo. (Hned na začátku stránky programu Octave je krátký návod, jak řešit soustavy rovnic.)

Své práce mi, prosím, posílejte ve formátu PDF na můj e-mail.

Termín stanovuji do 4.9.2020, což je oficiální konec zkouškového období v tomto semestru.

Pro inspiraci se podívejte na ukázkovou úlohu prostě uloženého nosníku.

Pokud najdete úlohu, k jejímuž řešení vám texty na mých stránkách nebudou stačit (např. nebude obyčejná nebo bude vyššího řádu než 2), jsem připraven na konzultace po emailu.

Doporučená literatura

  • Karel Rektorys: Matematika 43 - Obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami 2, ČVUT, Fakulta stavební. (ke stažení zde, bez záruky)
  • Petr Olšák: Úvod do algebry, zejména lineární, ČVUT, Fakulta elektrotechnická.
  • Petr Olšák: Lineární algebra, volně ke stažení na stránkách http://petr.olsak.net.
  • Ladislav Průcha: Řady, ČVUT, Fakulta elektrotechnická.
  • Ladislav Průcha: Fourierovy řady [PDF]